ここではアンペールの法則を学びます。
ビオサバールの法則と同様に磁場の大きさを求められる式ですが、直感的にわかりやすいのでアンペールの法則の方が人気です。
アンペールの法則
磁束密度についてガウスの法則を適用すると
$$\int_S {B\cdot n}dS = 0$$
が成り立ちます。
電気の場合は電荷がありましたが、磁荷は存在しないので右辺はゼロになあります。
微分系も同様に
$$\nabla \cdot B = 0$$
となります。
渦なしの法則も同様に静磁場で成り立ちます。
$$\int{B\cdot t}ds = 0$$
図のように電流の周りに作られる磁場を考えましょう。
円周上の点 R に作られる磁場の大きさは
$$\int B \cdot ds = \frac{\mu_0I}{2\pi r}$$
です。円周全体を足し合わせると、単純に上式に \(2\pi r\) を掛ければよいので次のようになります。
$$\int {B\cdot t}ds = \frac{\mu_0I}{2\pi R}\times 2\pi R = \mu_0 I$$
電流密度を使って表せば
$$\int {B\cdot t}ds = \mu_0 \int i dS$$
となります。これがアンペールの法則です。
ちなみに微分系は
$$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{i}$$
これがアンペールの法則の微分系です。
磁場の強さ \(H\) を使って書き換えると
$$\nabla \times H = i$$
別の表現では
$$rot H = i$$
というのもあります。
ベクトルポテンシャル
最後にベクトルポテンシャルを勉強しましょう。
分かりにくい概念ですので気を付けてください
先に式を出すと磁場とベクトルポテンシャルの関係は
$$B = \nabla \times A$$
で表されます。 \(A\) がベクトルポテンシャルです。
ただしこれは静磁場のとき、つまり
$$div B = 0$$
が成り立つ時だけ、ベクトルポテシャルが存在します。
ベクトルポテシャルとは電流が作り出す位置エネルギーのようなものです。
そして向きは電流が流れる向きと一緒で、その大きさは電流が流れている導線に近ければ近いほど大きくなります。
別の書き方もあるので導出しましょう。
アンペールの法則の微分形は
$$\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{i}$$
です。
左辺にベクトルポテンシャルを代入すると
$$\nabla \times \nabla \times A =\nabla \nabla \cdot A-\nabla^2 A =-\nabla^2A$$
このようになるので
$$\nabla^2 A = -\mu_0 i$$
となります。
実はこの形はスカラーポテンシャルと似ています。
スカラーポテンシャルは電場におけるガウスの法則
$$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
と電場とポテンシャルの関係
$$E = -\nabla \phi$$
より導かれる
$$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$$
はい。この形と一緒ですね。
スカラーポテンシャルは
$$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho}{|r-r’|}ds’$$
で表されたのでベクトルポテンシャルは
$$\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{i}}{|r-r’|}ds’$$
となります。
途中の式変形が分からに人はベクトル解析を復習しましょう。
まとめ
今回はアンペールの法則とベクトルポテンシャルについて学びました。
静電場、静磁場はここで終了です。
これからは時間変化していく電場と磁場取り扱います。
