電磁気学で学ぶ重要な方程式をまとめたのがマクスウェルの方程式です。
マクスウェルの方程式
微分形式で紹介します。
$$\nabla \cdot \vec{D}(r,t) = \mu(r,t)$$
$$\nabla \cdot \vec{B}(r,t) = 0$$
$$\nabla \times \vec{H}-\frac{\partial \vec{D}}{\partial t } = \vec{i}(r,t)$$
$$\nabla \times \vec{E}-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t } = 0$$
これら4つは必ず覚えるべき式です。一つ一つかんたんに説明していきます。
その前にガウスの定理とストークスの定理について説明します。
ガウスの定理とストークスの定理
ガウスの定理
$$\int_V \nabla \cdot \vec{A} dV = \int_S \vec{A}\cdot d\vec{S}$$
これは数学のベクトル解析で出てくる知識です。
何をやっているのかといいますと、体積積分を面積積分に変換しているだけです。
マクスウェルの方手式では積分系と微文系があるのですが、変換するときに役立ちます。
ストークスの定理
$$\int_s \vec{E} \cdot d \vec{s} = \int_S \nabla \times \vec{E}\cdot d\vec{S}$$
もう一つのストークスの定理は線積分を面積分に書き換えられます。
ガウスの電場法則
$$\nabla \cdot \vec{D}(r,t) = \rho(r,t)$$
D は電束密度です。これはいわゆるガウスの法則ですね。こちらのほうが見慣れている形でしょうか。
$$\nabla \cdot \vec{E}(r,t) = \frac{\rho(r,t)}{\epsilon}$$
ここでは次のように電場 \(E\)を、電束密度 \(D\) に置き換えています。このほうが見やすくなります。
$$\frac{\vec{E}}{ \epsilon_0} = \vec{D}$$
ガウスの法則は、電荷が存在するところに電場が発生することを意味しています。
積分系で書くと次のようになります。
$$\int _S \vec{D} \cdot d \vec{S} = Q$$
$$\int _S \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}$$
電磁気分野ではクローンの法則についで出てくるので、一番見慣れているかもしれません。
ガウスの磁場法則
$$\nabla \cdot \vec{B}(r,t) = 0$$
先程は電荷でしたが、こちらは磁荷に関する法則です。
右辺が0になっていることから、磁場が発生していても、そこには磁荷が存在しないことがわかります。
積分系で書くと次のようになります。
$$\int _S \vec{B} \cdot d \vec{S} =0$$
一番シンプルなので覚えやすいですね。
アンペールの法則
$$\nabla \times \vec{H}-\frac{\partial \vec{D}}{\partial t } = \vec{i}(r,t)$$
こちらはアンペールの法則です
…正しくはマクスウェル・アンペールの法則ですかね。
意味は「電流が存在する時、その周りに電場と磁場が発生する」ということです。
$$\int _C \vec{H} \cdot d \vec{s} = \int_S \vec{i}\cdot d\vec{S} + \int_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t } dS$$
ここでも磁束密度\(\vec{B}\) を磁束\(\vec{H}\) に置き換えています。
$$\frac{\vec{B}}{ \mu_0} = \vec{H}$$
電気と磁気が密接に関係していることがここからわかっていきます。
ファラデーの電磁誘導の法則
$$\nabla \times \vec{E}-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t } = 0$$
電磁誘導の法則です。
これは磁束が変化すると電場が発生することを表しています。
ただし電流の流れる向きは磁束の変化を妨げる向きなので、式にマイナスが付いています。
$$\int _C \vec{E} \cdot d \vec{s} = – \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t } d\vec{S}$$
まとめ
今回はマクスウェルの方程式を取り扱いました。
電磁気学の要素が詰まっている式なので必ず覚えてください。
