静電ポテンシャルを考えます。
静電ポテンシャル
力学のときポテンシャルは力を積分すると出てきました。
電荷 \(q\) と電場 \(E\) をかけると力になります。
今回は電荷が任意の閉じた経路上を動くと考え、その経路と電場が垂直な方向を \(\vec{t}\) としたとき、これを積分すると
$$0 = -q\int\vec{E}\cdot\vec{t}ds$$
となります。
これは電荷を適当に動かして、元の位置に戻した時にはポテンシャルが変わらないことを意味しています。
閉じた経路でない場合はポテンシャルが変わります。
式で書くと
$$\phi(r) = -q\int\vec{E}\cdot\vec{t}ds$$
となります。
この左辺が静電ポテンシャルです。
このポテンシャルは一般的に電位と呼ばれています。
次はこのポテンシャルを別の表記で書いてみます。
電位
ガウスの法則と同様にまずは点電荷が一つある場合を考えてみます。
ガウスの法則より電場は
$$\int_SEdS = \frac{q}{\epsilon_0}$$
$$E\cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\epsilon_0}$$
$$E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2}$$
ですので電位は
$$\phi(r) = -\int\frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2}ds$$
右辺を積分します。基準点を無限遠に取ると？
$$\phi(r) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0|r-r’|}$$
となります。
次に点電荷が多数ある場合を考えましょう。
実は先ほどの式の和を考えればよいだけですので
$$\phi(r) = \sum^n_i\frac{q_i}{4\pi \epsilon_0|r-r_i|}$$
となります。
ガウスの法則の時と同じように、電荷が分布しているときを考えましょう。
そうすると
$$\phi(r) = \int\frac{\rho}{4\pi \epsilon_0|r-r’|}dV’$$
が出てきます。
この静電ポテンシャルと電場には次のような関係があります。
$$\vec{E} = -\nabla \phi$$
ここで出てきた逆三角形の記号はナブラ演算子です。
力学でも出てきたので覚えている人も多いと思います。
これはx, y, zについて偏微分を行うことを意味します。
静電エネルギー
物理ではエネルギーが重要な役割をします。
電気分野でもその重要性は変わりません。
ここでは静電エネルギーを考えます。
静電エネルギーを \(U\) とすると次のように表せます。
$$U = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0|r-r’|}$$
電位との違いが分かりにくいですね。
電位は電荷が作り出す電場を距離で割ったものです。
一方静電エネルギーは電位×電荷で出されます。
静電エネルギーは電荷が行う仕事に相当します。
$$U = -q\int \vec{E}\cdot \vec{t}ds$$
まとめ
今回は静電ポテンシャルについて学びました。
