ここでは、仕事やポテンシャルについて学びましょう。
仕事
まずは仕事を考えていきましょう。
仕事は「力×力と同じ向きに移動した距離」のスカラー積で定義されています。
式にすると
$$\Delta W =\vec{F}\cdot \vec{\Delta r} = |F||\Delta r|\cos\theta$$
です。 \(\theta\) は \(F\) と \(\Delta r\) のなす角です。
積分形式で書いてみましょうか。
A地点からB地点まで仕事をするとき
$$W_{AB} = \lim^{n}_{n\to \infty}\sum^{n}_{i = 1} \vec{F}_i\cdot \Delta \vec{r}_i = \int^B_A \vec{F}\cdot d\vec{r}$$
このようになります。
ちなみにですが、単位時間当たりの仕事を仕事率といいます。
ポテンシャル
仕事が途中の道筋によらず、両端の位置だけで決まるとき、この力を保存力といいます。
仕事を \(W\) とすると
$$W = \int^{B}_{A} F\cdot dr = U(x_a,y_a,z_a)-U(x_b,y_b,z_b)$$
また、 \(U\) をその力のポテンシャルといいます。
このポテンシャルという言葉はあらゆるところに出てくるので絶対に忘れないでください。
重力も力ですのでもちろん仕事をします。高校で学習した位置エネルギーは次のように表されていましたよね。
$$U =mgh$$
これも力を積分したものです。
$$U = \int^{B}_{A} mg\cdot dr =mgh $$
今まで位置エネルギーと呼んでいたものは重力を積分するだけで導けましたね。
3方向から力を受けている質点のポテンシャル
原点から力を受けている質点のポテンシャルを考えましょう。
\(k\) を比例定数とすると3方向の受ける力はそれぞれ
$$F_x = -kx , ~~~F_y = -ky,~~~F_z = -kz$$
のようになります。
先ほど見たように、力を積分すればポテンシャルになるので x軸方向の力を積分してみましょう。
$$\int F_x dx= -k \int x dx\\ -\frac{1}{2}kx^2$$
他のy,z成分についても同様に積分すると
$$U = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$$
となります。
力学的エネルギーの保存則
質点が保存力だけを受けながら運動する場合を考えると
$$W_{AB} = \int^B_A F(r)\cdot = -U(r_B)+U(r_A)$$
ですから
$$K_B-K_A= -U(r_B)+U(r_A)$$
となりますよね。これを整理すると次のようになります。
$$K_A+U(r_A)= K_B+U(r_B)$$
$$E = K+U(r) = \frac{1}{2}mv^2 + U(r)$$
これを力学的エネルギーの保存則と言います。
つまり、保存力のみを受けながら運動している物体の力学的エネルギーはどの地点においても一定です。
ナブラ演算子
これでおわりですが、今後出てくるナブラ演算子について学びましょう。
数学に偏微分という計算方法があります。
偏微分とは変数が2つ以上ある関数について、行う微分演算のようなもので、一つ以外の変数を定数とみなして微分する方法です。
何を言っているのかわかりませんね。
上のポテンシャルを使って説明します。
$$U = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$$
こちらのポテンシャルをxについて偏微分すると
$$-\frac{\partial U}{\partial x} = -kx =F_x$$
となります。
y, z成分を定数とみなすので、xについて微分すれば消えますよね。
これが偏微分です。微分の時は \(d\) を使って表しましたが、偏微分では \(\partial\) を使います。（パーシャルと読みます）
y と z についても同様に行います。
そしてそれらを合わせると次のようになります。
$$F = -\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i}-\frac{\partial U}{\partial y}\vec{j}-\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}$$
これをまとめて書くことができます。
$$F = -\mathrm{grad} U$$
今出てきた \(\mathrm{grad}\) はグラディエントと読み、日本語では勾配といいます。
また、別の表現方法で
$$F = -\nabla U$$
と表せます。
今出てきた逆三角形は「ナブラ（nabla）」よみ、ここでは \(\mathrm{grad}\) と同じ意味です。
まとめ
今回はポテンシャルを学びました。
是非覚えてください！
