受験の物理屋さん

大学受験の参考書や問題集を紹介

大学力学

[大学力学]1-3.運動量と力積と様々運動

投稿日:

前回はこちら!

[大学力学]1-2.運動方程式~放物運動

 

 

ここでは運動量と力積について学んでいきます。

これらは高校物理でも学びましたが、改めて微分積分を交えて説明していきます。

 

 

運動量

 

運動量 \(p\) は次のように定義されます。

$$p = m\frac{dr}{dt} =mv$$

運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) と間違えやすいので気を付けてください。

運動量はベクトルです。

つまり大きさと向きを持ちます。

しかし、エネルギーは速度を2乗しているのでスカラーになります。

また、2つの物体がぶつかった時にはエネルギーが熱や音に代わるため、運動エネルギーは保存されません。

 

この運動量を運動方程式に取り入れてみると、このようになります。

$$\frac{dp}{dt} = F$$

よりシンプルになりましたね。

運動量はベクトルですので2つの物体の衝突や分離など、向きに関する現象を取り扱うときによく出てきます。

 

 

力積

 

微小時間の間に受けた力を力積といいます。

式で表します。

$$\frac{dp}{dt} = \lim_{\Delta t -> 0}\frac{\Delta p}{\Delta t} \approx \frac{\Delta p}{\Delta t}$$

ただし、

$$\Delta p = p(t + \Delta t)-p(t)$$

です。

 

これらから力積が分かります。

$$\Delta p \approx F\Delta t$$

上記の式の右辺が力積です。

 

では力積を積分形式で書いてみましょう。

時間 \(t_1\) のときの運動量を \(p_1\) とし、時間 \(t_2\) の時の運動量を \(p_2\) とすると力積を次のように表せます。

$$p_2-p_1 = \int^{t_2}_{t_1} F(t)dt$$

 

そこまで難しくないですね。

ちなみに野球のボールをバットで打つように、短い時間のみ働く力を撃力といいます。

 

 

摩擦がある運動

摩擦

最後に摩擦がある運動を考えていきましょう。

図のように摩擦がある粗い斜面を滑る物体の運動を考えましょう。

この時に働く力は3つあります。

1つ目は重力。これは大丈夫ですね。

2つ目は垂直抗力。名前の通り斜面に垂直な方向に働く力です。よって

3つ目は摩擦力。粗い斜面といったら摩擦がある場合が多いです。

これらの力の大きさを考えていきましょう。

 

まず重力の大きさは分かりますよね。

質量×重力加速度で表せます。

次に着目すべき点は垂直抗力と摩擦力のなす角です。

その角は90度ですので垂直抗力と摩擦力のつり合いの式は別々でたてられます。

よって斜面に垂直な成分のつり合いの式は垂直抗力を \(N\) とすると

$$mg\cos\theta = N$$

となります。

 

一方斜面に水平な成分の運動方程式は次のようになります。

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg\sin\theta ~-~ \mu mg\cos\theta$$

右辺第2項にでてきた \(\mu\) は動摩擦係数と呼ばれます。

実は摩擦の大きさは摩擦力係数×垂直抗力で算出できます。

 

積分して速度を出してみましょう

$$\int m\frac{d^2x}{dt^2} dt= \int mg\sin\theta ~-~ \mu mg\cos\theta dt$$

$$\frac{dx}{dt} =  (g\sin\theta ~-~ \mu mg\cos\theta ) t$$

さらに積分をして距離を出しましょう。

$$\int \frac{dx}{dt} dt= \int (g\sin\theta ~-~ \mu mg\cos\theta ) t dt$$

$$x = \frac{1}{2} (g\sin\theta ~-~ \mu mg\cos\theta ) t^2 $$

 

 

まとめ

 

今回は運動量と力積について見ていきました。

次は大事な単振動を学びます!

 

次回はこちら![大学力学]1-4. 単振動

-大学力学
-

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

関連記事

[大学力学]1-2.運動方程式~放物運動

今回は運動の法則について学びます。 まずはニュートンの運動の3法則を見ていきましょう。   運動の3法則 第1法則 第1法則は慣性の法則ともいわれています。 その内容を日本語で書くと 外部か …

[大学力学]1-4. 単振動

ここでは単振動を扱います。 単振動は非常に重要な考え方です。 確実に理解してください!!!     単振動   比例定数を \(k\) とした時の単振動の運動方程式はフッ …

[大学力学]1-5.強制振動と減衰振動

前回はこちら![大学力学]1-4. 単振動   前回単振動扱いましたので今回は強制振動と減衰振動を学んでいきましょう。     減衰振動   まずは減衰していく …

no image

[大学力学]1-7.ポテンシャル

ここでは、仕事やポテンシャルについて学びましょう。   仕事     まずは仕事を考えていきましょう。 仕事は「力×力と同じ向きに移動した距離」のスカラー積で定義されてい …

[大学力学]1-1.変位と速度と加速度

今回から大学で学ぶ力学の解説をしていきます。 最初は変位と速度と加速度を扱います。 高校力学と一緒ですね。内容自体は難しくないですが、微積とベクトルの知識がなければ躓きます。 自信がない人はまず数学を …