今回は静磁場のエネルギーを説明していきます。
静磁場のエネルギー
コイルに電流を流す場合を考えてみましょう。
電流を増加させると自己誘電起電力が生じます。外からかけるべき電位差は
$$\phi(t) = L\frac{dI(t)}{dt}$$
となります。
このとき、微小時間を \(\Delta t\) とすると仕事は次式で表されます。
$$\Delta W = \phi(t)\cdot I(t)\Delta t$$
0から \(t_a\) の間になされる仕事は
$$\begin{align}W &= \int_0^{t_a} \phi I dt \\&= L\int_{0}^{t_a} \frac{dI}{dt}Idt \\ &=\frac{L}{2}\int_{0}^{t_a} \frac{d}{dt}{I^2}dt \\ &= \frac{L}{2}I^2\end{align}$$
途中に出てきた積分は次のように考えれば解けます。
$$\frac{dI}{dt}I = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}I^2$$
この方法はよく見かけるので覚えてください。
さて、自己インダクタンス \(L\) を \(L = \mu_0n^2IS\) で置き換えると
$$W = \frac{1}{2}\mu_0n^2I^2Sl$$
コイルがソレノイドの場合は磁束密度Bが \(B = \mu_0nI\) とかけるので
$$W = \frac{1}{2\mu_0}B^2Sl$$
ということで磁場のエネルギーは次のようになります。
$$W = \frac{1}{2\mu_0}B^2Sl = \frac{1}{2}\mu_0H^2Sl$$
複素インピーダンス
交流電流が
$$\phi(t) = \phi_0\cos(\omega t+ \alpha)$$
で与えられ、抵抗、コンデンサー、コイルが同一上の回路に直線上に並んでいるとします。
起電力が各振動数 \(\omega\) で振動するとき電流と電荷も同様に振動します。
$$\phi(t) = \phi_0\cos(\omega t+\alpha)$$
$$I(t) = I_0\cos(\omega t+\beta)$$
$$Q(t) = Q_0\cos(\omega t+\gamma)$$
このように表現できるでしょう。上式で出てきたギリシア文字は位相です。
ここでオイラーの方程式
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
ここで複素数の関数を次のように、実数部分のみを考えてみましょう。
$$\tilde{\phi}(t) =\phi_0e^{i(\omega t+\alpha)} = \tilde{\phi}e^{i\omega t}$$
こうすると
微分方程式は
$$L\frac{d\tilde{I}(t)}{dt} + R\tilde{I}(t)+\frac{1}{C}\tilde{Q}(t) = \tilde{\phi}(t)$$
ここで、電荷 \(Q\) を電流 \(I\) で統一させます。
$$L\frac{d\tilde{I}(t)}{dt}e^{i\omega t} + R\tilde{I}(t)e^{i\omega t}+i\omega\frac{1}{C}\tilde{I}(t)e^{i\omega t} = \tilde{\phi}(t)e^{i\omega t}$$
共通部分を落とすと
$$(i\omega L+R+\frac{1}{i\omega C})\tilde{I} = \tilde{\phi}$$
です。
この（）の中身をインピーダンスといいます。
これは抵抗ような役割をしていまして、単位は同じくオームです。
分かりやすくまとめると
$$R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$
このようになります。
変数はオメガだけですね。このオメガが次のような関係になるとき、共鳴と呼ばれる現象が起こります。
$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
まとめ
今回は静磁場のエネルギーとインピーダンスについて説明しました。
よく出る問題ですのでしっかりと流れを理解してください！
